Materi aljabar membahas mengenai penggunaan huruf dalam operasi hitung matematika untuk mewakili suatu nilai yang belum diketahui. Sementara bentuk aljabar linear adalah persamaan linear yang memiliki variabel atau peubah dengan pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah satu.
Materi aljabar linear sangat penting untuk mempelajari berbagai sistem persamaan linear, penggunaan matriks, transformasi linear hingga ruang vektor. Materi ini memiliki kegunaan yang sangat luas dalam berbagai bidang kehidupan meliputi matematika, ekonomi, fisika dan sebagainya.
Mengenal Sistem Persamaan Linear Pada Aljabar
Aljabar didefinisikan secara sederhana sebagai bentuk matematis untuk menyatakan suatu persoalan yang dikerjakan dengan operasi aritmatika. Ada setidaknya tiga bentuk aljabar linear yang digunakan dalam sistem persamaan linear satu variabel, dua variabel dan juga persamaan linear tiga variabel.
1. Sistem Persamaan Linear dengan Satu Variabel (PLSV)
Bentuk linear aljabar paling sederhana yang pertama kali harus dipelajari adalah sistem persamaan linear dengan satu variabel. Sistem persamaan linear ini disajikan dalam bentuk kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan “=” sebagai tanda hubung.
Perbedaan sistem persamaan linear satu variabel dengan bentuk linear lain adalah sistem ini hanya memiliki satu buah variabel peubah dengan pangkat paling tinggi adalah satu.
Bentuk umum dari sistem persamaan linear dengan satu variabel yakni ax + b = c dimana a merupakan koefisien dengan nilai a tidak sama dengan 1.
Operasi perhitungan yang digunakan dalam sistem persamaan linear adalah operasi aritmatika biasa yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian.
Operasi perhitungan dalam persamaan linear dengan satu variabel ditujukan untuk mengetahui nilai real pengganti variabel sehingga persamaan menjadi benar. Berikut contoh cara penyelesaian soal persamaan linear dengan satu variabel:
12x – 10 = 14
12x = 14 + 10 (Jika bilangan pindah ruas maka ubah tanda pada bilangan tersebut menjadi sebaliknya)
12x = 24
x = 24 : 12 = 2
Sehingga solusi dari soal di atas adalah 2.
2. Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel (PLDV)
Sama seperti PLSV, sistem persamaan linear dengan dua variabel dibuat dalam bentuk kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda hubung sama dengan “=”. Hanya saja pada sistem persamaan linear dengan dua variabel terdapat dua peubah atau dua variabel dengan pangkat paling tinggi tetap satu.
Sistem persamaan linear dengan dua variabel dituliskan dengan bentuk umum dx + ey = c. Huruf x dan y merupakan dua buah variabel yang nantinya harus dicari nilainya. Sementara aljabar a dan e merupakan koefisien dari variabel yang nilainya tidak boleh sama dengan 0.
Karena solusi yang dicari dari bentuk aljabar linear dua variabel ada dua misalnya variabel x dan y, maka persamaan yang diketahui minimal ada dua buah. Sebagai contoh diketahui persamaan linear 4x – 6y = 2 maka solusi penyelesaian dari persamaan tersebut merupakan bilangan yang terurut (x1, y1).
Solusi penyelesaian (x1, y1) disubstitusikan nilainya ke variabel x dan y secara berurutan sehingga nilai persamaan menjadi benar. Pada contoh soal, maka solusi persamaan dua variabel tersebut adalah
x1 = (2 + 6y)/4
y1 = (4x – 2)/6
3. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel (PLTV)
Sistem persamaan linear dengan tiga variabel merupakan persamaan matematika yang di dalamnya memiliki 3 variabel dengan pangkat tertinggi adalah satu. Arti persamaan linear sendiri adalah setiap persamaan yang pangkat tertingginya sebesar satu.
Ciri khas dari persamaan linear adalah dihubungkan menggunakan tanda sama dengan. Untuk sistem persamaan linear dengan tiga variabel dinyatakan dengan ax + by +cz = d. Huruf a, b dan c adalah koefisien dari variabel dengan nilai tidak boleh sama dengan 0.
Untuk bisa memperoleh solusi penyelesaian dari persamaan linear dengan tiga variabel maka dibutuhkan setidaknya 3 persamaan linear dengan variabel yang sama. Contoh bentuk aljabar linear tiga variabel yakni 3x + 4y – z = 12.
Soal Bentuk Aljabar Linear dan Pembahasannya
1. Hitunglah berapa nilai variabel di bawah ini:
-
8x + 9 – 5x + 6 = 0
-
4c + c + 55 – 10 = 0
-
a + 16 – 5a = 20
-
11 + 3b – 19 = b
Jawab:
- 1. 8x + 9 – 5x + 6 = 0
3x + 15 = 0
3x = -15
x = -5
- 2. 4c + c + 55 – 10 = 0
5c + 45 = 0
5c = -45
c = -9
- 3. a + 16 – 5a = 20
-4a = 20 – 16
-4a = 4
a = -1
- 4. 11 + 3b – 19 = b
-8 = b – 3b
-8 = -2b
b = 4
2. Tentukan koefisien, variabel dan suku dari bentuk aljabar linear berikut:
-
12y + 10
-
5x – 11
-
8 + 13z + x
-
2a + 3b – 9
Jawab:
- 12y + 10
Suku: 12y dan 10
Variabel: y
Koefisien: 12
- 5x – 11
Suku: 5x dan -11
Variabel: x
Koefisien: 5
- 8 + 13z + x
Suku: 13z, x dan 8
Variabel: z dan x
Koefisien: 13 dan 1
- 2a + 3b – 9
Suku: 2a, 3b dan -9
Variabel: a dan b
Koefisien: 2 dan 3
3. Rita membeli dua buah buku tulis, 3 buah pensil dan 1 buah penghapus di toko buku hari ini. Rita harus membayar sejumlah Rp 22.000 untuk semua belanjaannya. Tuliskan persamaan aljabar linear dari barang yang dibeli oleh Rita.
Diketahui:
2 buku tulis = 2b
3 pensil = 3p
1 penghapus = h
Jawab:
Dari soal di atas maka bentuk aljabar linear adalah 2b + 3p + h = Rp 22.000
4. Ibu membeli 2 kg tepung terigu di warung. Ibu kemudian membeli 10 kg beras di toko sembako. Total belanjaan ibu pada hari itu sebesar Rp 150.000. Kakak membeli 1 kg tepung terigu dan 2 kg beras di tempat yang sama dengan tempat ibu berbelanja dan membayar sebesar Rp 39.000. Tentukan berapakah harga tepung terigu dan beras perkilogramnya.
Diketahui:
Bentuk persamaan 1: 2t + 10b = Rp 150.000
Bentuk persamaan 1: t + 2b = Rp 39.000
Jawab:
2t + 10b = Rp 150.000
t + 2b = Rp 39.000 |x2|
Kemudian kedua persamaan dieliminasi:
2t + 10b = Rp 150.000
2t + 4b = Rp 78.000
_______________________-
6b = Rp 72.000
b = Rp 12.000
Nilai b disubstitusikan ke salah satu persamaan menjadi
t + 2 (12.000) = Rp 39.000
t = Rp 39.000 – 24.000
t = Rp 15.000
Bentuk aljabar linear masuk ke dalam materi Matematika yang membahas mengenai sistem persamaan linear, transformasi linear, operasi hitung matriks dan lainnya. Bentuk sistem persamaan aljabar linear yang dipelajari di sekolah meliputi persamaan linear satu variabel, dua variabel dan tiga variabel.
Baca Juga: