KPK Dan FPB adalah materi Matematika yang membahas mengenai persekutuan bilangan. Meski sekilas hampir serupa karena sama-sama menghitung faktor persekutuan bilangan, namun ada sedikit perbedaan mengenai cara perhitungannya.
Kemampuan yang harus dikuasai agar bisa menghitung nilai FPB dan KPK dari bilangan adalah konsep faktor dan faktorisasi bilangan. Materi KPK maupun FPB memiliki manfaat untuk membantu mengerjakan permasalahan matematika lain seperti penyederhanaan pecahan.
Pengertian KPK Dan FPB
KPK Dan FPB adalah kelipatan dan faktor bilangan yang mana KPK digunakan untuk menghitung kelipatan terkecil dan FPB untuk menghitung faktorisasi terbesar. KPK merupakan singkatan dari Kelipatan Persekutuan Terkecil atau disebut least common multiple dalam bahasa Inggris.
KPK secara sederhana dapat diartikan sebagai nilai kelipatan terkecil yang dimiliki oleh dua buah bilangan atau lebih. Kelipatan bisa dihitung dengan cara menambahkan suatu bilangan dengan bilangannya sendiri secara berurutan.
Kelipatan juga bisa dihitung dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan bilangan asli yakni 1, 2, 3, 4 dan seterusnya. Untuk menemukan bilangan KPK dari dua bilangan tersebut maka pilih kelipatan yang sama dari keduanya dengan nilai paling kecil.
Misalnya, untuk mencari nilai KPK dari dua bilangan 6 dan 8, maka pertama-tama ditulis terlebih dulu kelipatan dari kedua bilangan 6 dan 8.
6, 12, 18, 24, 30 dan seterusnya
8, 16, 24, 32, dan seterusnya.
Maka nilai kelipatan paling kecil dari 6 dan 8 adalah yang paling pertama muncul yakni 24.
Sementara FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar atau disebut dengan Great Common Divisor (GCD). Sehingga untuk menghitung nilai FPB dari dua bilangan atau beberapa bilangan harus diketahui faktor prima serta teknik faktorisasi pada bilangan.
Ada beberapa cara untuk menghitung faktor bilangan seperti metode faktorisasi prima, irisan himpunan, algoritma pembagian yang akan dijelaskan di bagian bawah. Faktorisasi yang dihitung adalah faktor bilangan prima yakni bilangan bulat positif yang hanya bisa dibagi oleh bilangan itu sendiri dan 1.
Metode untuk Menghitung Nilai KPK
Untuk menghitung Kelipatan Persekutuan Terbesar (KPK) dari suatu bilangan bisa digunakan setidaknya dua metode yakni metode faktorial dengan pohon faktor serta cara sederhana atau cara manual. Kedua cara ini memiliki kelebihan dan kekurangan. Berikut penjelasannya.
1. Metode Faktorial dengan Pohon Faktor
Metode faktorial menggunakan pohon faktor bisa digunakan baik untuk menghitung nilai KPK Dan FPB. Pohon faktor akan memfaktorisasi bilangan dengan cara membagi bilangan dengan bilangan prima berturut-turut hingga bilangan semakin kecil.
Bilangan prima pembagi pada pohon faktor adalah 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. Bilangan harus dibagi sampai tersisa bilangan prima saja. Bilangan prima yang digunakan untuk membagi dipilih dari nilai paling kecil. Misalnya angka 36 bisa dibagi dengan bilangan prima 2 dan 3.
Namun pilih bilangan prima 2 untuk membagi angka 36. Di bawah ini ditunjukkan faktorisasi bilangan 36 menggunakan pohon faktor.
Gambar Faktorisasi Pada Pohon Faktor
Angka 36 difaktorisasi di dalam pohon faktor dengan membaginya menggunakan bilangan prima dari yang paling kecil yakni 2 kemudian 3. Lingkaran digunakan untuk bilangan prima sementara kotak untuk menunjukkan bilangan bulat genap.
Untuk mencari nilai KPK dengan menggunakan pohon faktor caranya adalah memfaktorisasi kedua bilangan atau lebih yang dicari KPKnya. Misal cari nilai KPK dari bilangan 27 dan 36 menggunakan pohon faktor, maka diperoleh faktor prima sebesar:
27 = 3³ atau 3 x 3 x 3
36 = 2² x 3² atau 2 x 2 x 3 x 3
Untuk menghitung KPK, kalikan faktor prima dari kedua bilangan. Jika ada faktor prima dengan angka sama, maka pilih yang memiliki pangkat terbesar. Nilai KPK dari kedua bilangan adalah 2² x 3³ = 108. Sehingga nilai KPK sebesar 108.
2. Metode Manual atau Sederhana
Metode kedua untuk menghitung nilai KPK adalah metode manual atau sederhana. Metode ini sangat mudah digunakan karena cukup dengan menghitung kelipatan dari masing-masing bilangan baik dengan cara dikali atau dijumlahkan.
Nilai KPK adalah bilangan kelipatan sama yang pertama kali diperoleh dari kedua bilangan atau lebih. Bisa juga disebut nilai KPK adalah nilai kelipatan paling kecil dari bilangan-bilangan yang dihitung. Sebagai contoh, hitunglah nilai KPK dari 3 dan 7:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 dan seterusnya
7, 14, 21, 28, 35, dan seterusnya
Dilihat dari kedua bilangan di atas, kelipatan terkecil atau kelipatan pertama yang diperoleh dari 3 dan 7 adalah 21. Sehingga nilai KPK 3 dan 7 adalah 21.
Metode untuk Menghitung Nilai FPB
Metode untuk menghitung nilai FPB hampir sama dengan metode menghitung KPK yakni metode sederhana dan metode faktorial dengan pohon faktor. Namun untuk menarik nilai FPB dari pohon faktor sedikit berbeda dari perhitungan nilai KPK.
1. Metode Faktorial dengan Pohon Faktor
Faktorisasi dengan pohon faktor untuk mencari FPB sama dengan metode faktorisasi pohon faktor untuk mencari KPK. Pertama-tama bilangan yang ingin dicari nilai FPB dibagi menggunakan bilangan prima 2, 3, 5, 7 dan seterusnya hingga hasil yang tersisa hanya bilangan prima saja.
Ingat bahwa bilangan prima merupakan bilangan hanya hanya bisa dibagi oleh dirinya sendiri dan 1. Jika sudah tersisa bilangan prima saja maka diperoleh faktor prima. Faktor prima adalah faktor dari bilangan yang merupakan bilangan prima.
Untuk mencari nilai FPB dari bilangan dengan faktorisasi prima caranya adalah memilih nilai faktor prima yang sama-sama keluar di bilangan yang difaktorkan. Selanjutnya pilih dari faktor prima tersebut yang memiliki pangkat paling kecil.
Contoh carilah berapa nilai FPB dari 32 dan 48 menggunakan faktorisasi prima menggunakan pohon faktor.
32 = 2⁵
48 = 2⁴ x 3
Pilih faktor prima yang sama dengan pangkat paling kecil, maka FPB adalah 2⁴ = 16
2. Metode Sederhana
Metode sederhana menghitung FPB dengan mencari faktor bilangan kemudian pilih faktor paling besar yang muncul di masing-masing bilangan tersebut. Contoh carilah nilai FPB dari 16 dan 24
Faktor 16 = 1, 2, 8, 4, 16
Faktor 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Sehingga FPB adalah 4
Contoh Soal KPK Dan FPB
1. Tentukan nilai KPK dan FPB dari 28 dan 42
Dengan pohon faktor diperoleh faktorisasi prima 28 dan 42:
28 = 2² x 7
42 = 2 x 3 x 7
Nilai KPK diperoleh dengan mengalikan faktor prima yang muncul di kedua bilangan. Jika ada angka faktor prima sama maka pilih yang memiliki pangkat terbesar.
KPK =2² x 3 x 7 = 84
Nilai FPB diambil dari faktor prima yang muncul di kedua bilangan dengan pangkat terkecil:
FPB = 2 x 7 = 14
KPK Dan FPB merupakan materi yang sangat penting untuk dikuasai oleh pelajar sehingga sudah diperkenalkan sejak SD kelas 4. Materi ini berkaitan dengan faktorisasi bilangan yang bermanfaat untuk membantu menghitung pecahan, menyederhanakan dan juga mencari kelipatan.
Baca Juga: